☛ Déterminer la droite d'intersection de deux plans sécants

Énoncé

Dans un repère orthonormé, les plans $P_1$ et $P_2$ ont pour équations respectives $-x+2y+z-5=0$ et $2x-y+3z-1=0$ .

1. Démontrer que les plans  $P_1$ et $P_2$ sont sécants.

2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection $d$ .

Solution
1. So it  $\overrightarrow{n_1}\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$  un vecteur normal à $P_1$  et  $\overrightarrow{n_2}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$ un vecteur normal à $P_2$ .
Les produits en croix  $2\times 2=4$  et  $(-1)\times (-1)=1$  sont différents. Donc les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Donc les  plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants.

2. Un point $\text{M}(x;y;z)$ appartient à la droite d'intersection des deux plans lorsque ses coordonnées vérifient le système :  $\{\begin{array}{l}-x+2y+z-5=0\\ 2x-y+3z-1=0\end{array}$ qui équivaut à $\{\begin{array}{l}-x+2y=-z+5\\ 2x-y=-3z+1\end{array}$ soit  $\{\begin{array}{l}-2x+4y=-2z+10\\ 2x-y=-3z+1\end{array}$ (méthode par combinaison).

En ajoutant membre à membre les deux équations, on obtient :  $3y=-5z+11\iff y=-{\displaystyle \frac{5}{3}}z+{\displaystyle \frac{11}{3}}$ .

Puis on remplace cette expression dans la première équation :  $x=2y+z-5=-{\displaystyle \frac{7}{3}}z+{\displaystyle \frac{7}{3}}$ .

Les coordonnées du point $\text{M}$ s'expriment ainsi en fonction de $z$ qu'on peut poser comme paramètre, en l'appelant $t$ .
Une représentation paramétrique de la droite $d$ est donc :  $\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{7}{3}}-{\displaystyle \frac{7}{3}}t\\ y={\displaystyle \frac{11}{3}}-{\displaystyle \frac{5}{3}}t\\ z=t\end{array},t\in \mathbb{R}$ .