☛ Déterminer la droite d'intersection de deux plans sécants

Énoncé

Dans un repère orthonormé, les plans \(P_1\) et \(P_2\) ont pour équations respectives \(-x+2y+z-5=0\) et \(2x-y+3z-1=0\) .

1. Démontrer que les plans  \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants.

2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection \(d\) .

Solution
1. So it  \(\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} -1\\2\\1\\ \end{pmatrix}\)  un vecteur normal à \(P_1\)  et  \(\overrightarrow{n_2} \begin{pmatrix} 2\\-1\\3\\ \end{pmatrix}\) un vecteur normal à \(P_2\) .
Les produits en croix  \(2\times 2=4\)  et  \((-1)\times (-1)=1\)  sont différents. Donc les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Donc les  plans \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants.

2. Un point \(\text M(x~;~y~;~z)\) appartient à la droite d'intersection des deux plans lorsque ses coordonnées vérifient le système :  \(\begin{cases} -x+2y+z-5=0 \\ 2x-y+3z-1=0 \\ \end{cases}\) qui équivaut à \(\begin{cases} -x+2y=-z+5 \\ 2x-y=-3z+1 \\ \end{cases}\) soit  \(\begin{cases} -2x+4y=-2z+10 \\ 2x-y=-3z+1 \\ \end{cases}\) (méthode par combinaison).

En ajoutant membre à membre les deux équations, on obtient :  \(3y=-5z+11 \Leftrightarrow y=-\dfrac53 z+\dfrac{11}{3}\) .

Puis on remplace cette expression dans la première équation :  \(x=2y+z-5=-\dfrac73z+\dfrac73\) .

Les coordonnées du point \(\text M\) s'expriment ainsi en fonction de \(z\) qu'on peut poser comme paramètre, en l'appelant \(t\) .
Une représentation paramétrique de la droite \(d\) est donc :  \(\begin{cases} x = \dfrac73-\dfrac73t \\ y = \dfrac{11}{3}-\dfrac{5}{3}t \\ z = t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R\) .